Allgemeines Vorgehen

Zur Darstellung der Vorgehensweise der Finite-Elemente-Methode wird vereinfachend von einem linearen System ausgegangen.

Die allgemeine Vorgehensweise gliedert sich in folgende Schritte:

Schritt 1:

Diskretisierung des Systems: Das System wird geometrisch in kleine Elemente unter Beachtung der zu wählenden Ansatz- und Formfunktionen und der mechanischen Theorie zerlegt. Hierbei wird die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems von unendlich auf eine endliche Anzahl reduziert [Zienkiewicz 1975]. Die Geometrie, Lasten, Randbedingungen und Materialübergänge sind bei der Diskretisierung zu beachten. Unter Umständen ist eine Näherung der Geometrie, wie z.B. bei Kreisbögen, notwendig.

Schritt 2:

Ermittlung der Elementmatrizen: Die Ansatzfunktionen für jedes Element zur Interpolation der Systemgrößen und der Geometrie werden unter Berücksichtigung der Anforderungen der Problemstellung ausgewählt. Die Ansatzfunktionen werden dann in die Gleichungen der virtuellen Arbeit eingesetzt. Als Beispiel ist hier die virtuelle Arbeit einer Scheibe [Girkmann 1954] dargestellt:

$$\delta e = \underbrace{\int\limits_A \! \! \!\int \delta \hat{v}_\alpha (-\b... ...pha \beta \gamma \delta} v_{\gamma \vert \delta \beta}) \; dA }_{Elementmatrix}$$

$$- \underbrace{\int\limits_{\Gamma_v} \delta \hat{v}_\alpha (n^{\alpha \beta} - \hat{n}^{\alpha \beta}) n_\beta \; d \Gamma_v}_{Randbedingung}$$

$$- \underbrace{\int\limits_{\Gamma_\sigma} \delta \hat{v}_\alpha (n^... ...eta} - \hat{n}^{\alpha \beta}) n_\beta \; d \Gamma_\sigma }_{Randbedingung} = 0$$ (1)

Eine symbolische Lösung der Integration ist nur in einfachen Fällen möglich, in schwierigeren Fällen ist daher eine numerische Integration z.B. nach Gauß [Bathe 1990] notwendig.

Schritt 3:

Zusammenbau des Gesamtsystems: Die vorher berechneten Elementmatrizen werden zu einer Gesamtmatrix für das gesamte System unter Berücksichtigung der Koppel- und Übergangsbedingungen zwischen den einzelnen Elementen superponiert (Gleichung 2.2). Die Gesamtmatrix ist zu diesem Zeitpunkt singulär.

$$\delta E = \sum\limits_{Elemente} \delta e$$ (2)

Schritt 4:

Einarbeitung von Rand- und Übergangsbedingungen: Nachdem die Gesamtmatrix $K$ aufgestellt wurde, wird im nächsten Schritt das Gleichungssystem der Form

$$\delta V^T ~ K \cdot V = F ~ \delta V^T$$ (3)

zusammengebaut. $v$ ist hierbei der Unbekanntenvektor und $F$ der Rechteseitevektor mit den Belastungen des Systems. Die aus den oben beschriebenen Anteilen der Integrale der Randbedingungen berechneten Vektoren werden in den Vektor $F$ eingebaut. Freiheitsgrade mit vorgegebenen Werten, wie z.B. vorgegebene Verschiebungen bei Aufgabenstellungen aus dem Bereich der Strukturmechanik oder vorgegebene Wasserhöhen bei Problemstellungen aus dem Bereich der Strömungsmechanik, und Belastungen des Systems sind analog zur Diskretisierung entsprechend den gewählten Ansatzfunktionen in den Vektor $v$ einzubauen. Zeilen und Spalten, bei denen der zugehörige Wert des Vektors $v$ Null ist, werden gestrichen. Das Gleichungssystem ist nun lösbar.

Schritt 5:

Lösung des Gleichungssystems: Zur Lösung des Gleichungssystems stehen eine Reihe von Algorithmen zur Verfügung. Bei der Auswahl des Gleichungslösers sind die Eigenschaften des Gleichungssystems zu berücksichtigen. Bei linearen Gleichungssystemen können direkte Löser, wie z.B. der Gauß-Algorithmus oder der Cholesky-Algorithmus, Iterative Löser, wie z.B. Jacobi-Verfahren oder Gauß-Seidel-Verfahren, oder Semi-Iterative Verfahren, wie das Gradientenverfahren, verwendet werden [Bronstein 1997]. Bei nichtlinearen Gleichungssystemen stehen z.B. das Newtonsche Verfahren, das nichtlineare Gauß-Seidel-Verfahren oder das nichtlineare CG-Verfahren zur Verfügung [Törnig und Spellucci 1988].

Schritt 6:

Elementweise Berechnung der Unbekannten: Nachdem der primäre Unbekanntenvektor $v$ bestimmt wurde, werden hieraus die sekundären Größen innerhalb der Elemente, wie z.B. Schnittgrößen bei Aufgabenstellungen aus dem Bereich der Strukturmechanik, sowie die noch fehlenden Werte der rechten Seite $F$, die auch als Lagerreaktionen bezeichnet werden, berechnet.