Lastverteilungsfunktion

Um auf allen Prozessoren eine gleich große Rechenlast zu erreichen, wird eine Lastverteilungsfunktion für die Geometrie verwendet. An Stellen, an denen kleinere Element entstehen sollen, liefert diese Funktion größere Werte, an Stellen, an denen größere Elemente angestrebt werden, kleinere Werte. Diese Lastverteilungsfunktion wird bei der Berechnung des Schwerpunktes bzw. der Trägheitsmomente berücksichtigt und bewirkt eine Verschiebung des Schwerpunktes des Gebietes in Richtung der kleineren Elemente. Zur Berechnung des Schwerpunktes ergeben sich folgende Gleichungen:

$$x_s = \frac{\int x \cdot f(x,y) dA}{\int f(x,y) dA}$$ (29)

$$y_s = \frac{\int y \cdot f(x,y) dA}{\int f(x,y) dA}$$ (30)

Die Trägheitsmomente bzw. Schwerachsen berechnen sich nach der Koordinatentransformation dann wie folgt:

$$I_{\bar{x}} = \int \bar{y}^2 \cdot f(\bar{x},\bar{y}) dA$$ (31)

$$I_{\bar{y}} = \int \bar{x}^2 \cdot f(\bar{x},\bar{y}) dA$$ (32)

$$I_{\bar{x}\bar{y}} = -\int \bar{x} \cdot \bar{y} \cdot f(\bar{x},\bar{y}) dA$$ (33)

Die Lastverteilungsfunktion ist abhängig von der anzustrebenden Kantenlänge der Elemente und wird für zweidimensionale Netze folgendermaßen berechnet:

$$f(\bar{x},\bar{y}) = \frac{1}{w^2}$$ (34)

wobei $w$ die angestrebte Kantenlänge an der Stelle $x,y$ ist, die z.B. aus einem Fehlerindikator resultiert. Für dreidimensionale Netze ergibt sich:

$$f(\bar{x},\bar{y}) = \frac{1}{w^3}$$ (35)

Abbildung 4.7: Lastverteilungsfunktionen von verschiedenen Verfeinerungen

$\parbox{6cm}{ a)}$ $\parbox{6cm}{b)}$

$\parbox{6cm}{\psfig{figure=parmesh/last1.eps,width=60mm}}$ $\parbox{6cm}{\psfig{figure=parmesh/last3.eps,width=60mm}}$

In Abbildung 4.7 a) ist die Lastverteilungsfunktion für ein Viereck mit feineren Elementen in einer Ecke dargestellt. Das resultierende FE-Netz mit Viereckelementen ist in Abbildung 4.8 a) dargestellt.

Abbildung 4.8: FE-Netz mit Verfeinerungen

$\parbox{45mm}{ a)}$ $\parbox{45mm}{ b)}$

$\parbox{45mm}{\psfig{figure=parmesh/netz_last1.ps,width=45mm}}$ $\parbox{45mm}{\psfig{figure=parmesh/netz_last2.ps,width=45mm}}$

Verfeinerungen, die mit der dreier-Verfeinerung nach Abschnitt 3.3.2 und 3.3.4 in ein Netz eingebaut werden sollen, benötigen eine spezielle Lastverteilungsfunktion. In 4.7 b) ist die Funktion zur Verfeinerung einer Ecke dargestellt. In der Ecke mit der Verfeinerung ist die Elementkantenlänge $\frac{1}{3}$ so lang wie im Rest des Netzes. Daher muss der Wert der Lastverteilungsfunktion hier $9$ bzw. 27 mal so groß sein. Das resultierende FE-Netz mit Viereckelementen ist in Abbildung 4.8 b) dargestellt.

Die Lösung der Integrale wird mit Hilfe der Gaußintegration durchgeführt. Hierfür ist eine Zerlegung der gesamten Geometrie in grobe Dreiecke notwendig. Diese Triangulierung verwendet nur die vorher schon vorhandenen Knoten und erzeugt keine neuen.